Position relative de deux plans

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

Soit les plans $P_1$ et $P_2$ d'équations cartésiennes respectives $2x+4y+4z-3=0$ et $2x-5y+4z-1=0$ .

1. Démontrer que les plans  $P_1$ et $P_2$  sont perpendiculaires.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

1. Démontrer que les plans $P_1$ et $P_2$ d’équations cartésiennes respectives $x+y-z+2=0$ et $3x+y+z+4=0$ sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection $∆$ .

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

1. Démontrer que les plans  $P_1$ et $P_2$ d’équations cartésiennes respectives  $x+2y-z+1=0$ et $2x+3y-z+2=0$ sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection $\mathrm{\Delta }$ .

Exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

1. Démontrer que les plans  $P_1$ et $P_2$ d’équations cartésiennes res pectives  $x-y-z=0$ et  $2x-y+2z=0$ sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection $\mathrm{\Delta }$ .

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
« Les plans   $P_1$ et $P_2$ d'équations cartésiennes respectives $x+2y-z+1=0$ et  $2x+3y-z+2=0$ sont sécants suivant la droite $∆$ passant par  $\text{A}(-3;2;2)$ et de vecteur directeur  $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ . »

Exercice 6

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ .

Les plans   $P_1$ et $P_2$ ont pour équations cartésiennes respectives  $x+y-3z+3=0$ et $x-2y+6z=0$ .

1. Démontrer que $P_1$ et $P_2$ sont sécants suivant une droite $d$ de représentation paramétrique  $\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1+3t\\ z=t\end{array},t\in \mathbb{R}$ .

2. Démontrer que la droite $d$ et le plan $\Pi$ d’équation $2x-y+2z+2=0$ sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.