Position relative de deux plans

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Soit les plans \(P_1\) et \(P_2\) d'équations cartésiennes respectives \(2x+4y+4z-3=0\) et \(2x-5y+4z-1=0\) .

1. Démontrer que les plans  \(P_1\) et \(P_2\)  sont perpendiculaires.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

1. Démontrer que les plans \(P_1\) et \(P_2\) d’équations cartésiennes respectives \(x + y − z +2 = 0\) et \(3x + y + z +4 = 0\) sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \(∆\) .

Exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

1. Démontrer que les plans  \(P_1\) et \(P_2\) d’équations cartésiennes respectives  \(x +2y − z +1 = 0\) et \(2x +3y − z +2 = 0\) sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \(\Delta\) .

Exercice 4

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

1. Démontrer que les plans  \(P_1\) et \(P_2\) d’équations cartésiennes res pectives  \(x-y-z=0\) et  \(2x − y +2z = 0\) sont sécants.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \(\Delta\) .

Exercice 5

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
« Les plans   \(P_1\) et \(P_2\) d'équations cartésiennes respectives \(x +2y − z +1 = 0\) et  \(2x +3y − z +2 = 0\) sont sécants suivant la droite \(∆\) passant par  \(\text A(-3~;~2~;~2)\) et de vecteur directeur  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\3\\5\\ \end{pmatrix}\) . »

Exercice 6

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Les plans   \(P_1\) et \(P_2\) ont pour équations cartésiennes respectives  \(x + y −3z +3 = 0\) et \(x −2y +6z = 0\) .

1. Démontrer que \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants suivant une droite \(d\) de représentation paramétrique  \(\begin{cases}x=-2\\ y=-1+3t\\ z=t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

2. Démontrer que la droite \(d\) et le plan \(Π\) d’équation \(2x − y +2z +2 = 0\) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.